Punto Medio de un segmento de recta

Punto medio o punto equidistante, en matemática  es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.

Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

Historia de la geometría analítica

Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez en 1637 como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del Método , de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyan ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.

El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto apéndice del Discurso del método), sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no— hasta la aparición de la geometría  diferencial de Gauss (decimos "paradójicamente" porque se usa precisamente el término "geometría cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como "geometría analítica"). El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometría analítica y análisis matemático —esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de  función  y curva —, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama.

La geometría diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de las superficies, en general, aparecen serios obstáculos. Gauss salva dichos obstáculos creando la geometría diferencial, y marcando con ello el fin de la geometría analítica como disciplina. Es con el desarrollo de la geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación de la geometría analítica.

Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma de estudiar la geometría provocó que la anterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomático-deductiva, sin la intervención de coordenadas) se terminara denominando, por oposición, geometría sintética debido a la dualidad análisis-síntesis.

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación: Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1) d = 5 unidades

Rectas Perpendiculares

Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales.
Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ángulos de 90º.

Definiciones de Rectas Perpendiculares

• Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro Ángulos iguales de 90º.
• Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
• Dado un Punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha Recta.

Dos rectas son perpendiculares si sus Vectores directores son perpendiculares es decir el producto de los vectores es igual a cero

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

La relación de perpendicularidad se puede dar entre:

• Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
• Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.
• Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
• Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.

Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.

Si dos rectas al cortarse forman Ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).

DEFINICIÓN.- Un triángulo Rectángulo es un Triángulo uno de cuyos ángulos es recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados son los catetos.

DEFINICIÓN.- Una recta y un plano son perpendiculares, si se intersecan y además, toda recta en el plano que pase por el punto de intersección es perpendicular a la recta dada.

Rectas Paralelas

Formas para obtener la ecuación de una recta

Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta.


Una de las primeras formas de representar la ecuación de una recta es la llamada punto -
pendiente, como su nombre lo indica, los datos que se tienen son un punto y una pendiente.
Sea A(x1, y1) el punto dado y m la pendiente dada de la recta, entonces si consideramos
otro punto cualquiera B(x, y), que forme parte de dicha recta, por la definición de pendiente se
tiene que:

 Agrupando términos nos queda:

Forma punto- punto.
Sean A(x1, y1) y B(x2, y2) dos puntos de la recta. Con estos dos puntos se puede obtener su
pendiente:

Si sustituimos está pendiente en la ecuación y-y1= m (x – x1), obtendremos la ecuación de la
recta cuando se conocen dos puntos.

Ecuación de la recta en su forma simétrica.

La ecuación de una recta en su forma simétrica es aquella que está dada en términos de las

distancias de los puntos de intersección de la recta al origen del sistema coordenado, como

se muestra en la siguiente figura.

Cabe recordar que en una coordenada (x, y),x recibe el nombre de abscisa, y recibe el

nombre de ordenada.

De acuerdo a la figura la ordenada al origen es “b” (distancia entre el origen y el punto de

intersección de la recta con el eje y).

La abscisa al origen es “a” (distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta

con el eje x).

Si A(a, 0) y B(0, b) son dos puntos de la recta, al sustituirlos en la ecuación en su forma

punto-punto tenemos que                                  Y2- Y1

Y- Y1 =  X 2 -X1  ( X - X1 )

y-0=b - 0    (x - a)

        0 - a  

y =- a (x -a)

       b

Si multiplicamos por - a

-ay =- ab   (x -a)

        - a

-ay= b(x-a)

-ay= bx-ab

ab= bx + ay dividiendo entre ab


ab =  bx   +  ay
ab      ab      ab

1  =  X   +  Y 
         a        b

Ecuacion general de la recta

Nos gustaría tener una forma de la ecuación de la recta que cubriera tanto a las rectas verticales como a las que no lo son. Esta forma es la ecuación general de la recta y se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un miembro de manera que este quede igualado a cero.

Ecuación general de la recta 3: Ax + By +C = 0 .

Recordemos que dos ecuaciones son equivalentes cuando obtenemos una a partir de la otra efectuando las operaciones siguientes:
1. Sumar la misma cantidad (que puede ser una expresión algebraica) de ambos lados de una ecuación.
2. Multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad distinta de cero.

Dos ecuaciones que son equivalentes representan el mismo lugar geométrico, en el caso de ecuaciones lineales en dos variables, representan la misma recta.
Observa que la ecuación general de la recta no es única, ya que si multiplicamos la ecuación anterior por una constante λ distinta de cero, obtenemos la ecuación;

λ Ax +λ By +λ

que es de la misma forma que la anterior. Así, las tres ecuaciones siguientes son equivalentes y todas

están en la forma general;

3x -6y + 12 = 0,

x -2y + 4 = 0,

-x + 2y -4 = 0

y representan a la recta cuya ecuación pendiente-ordenada al origen